Каталог статей

მთავარი » სტატიები » Наука » Кеплер
Математические исследования Кеплера

Математические исследования Кеплера.

С 1594 г. Кеплер имел официальное звание математика: штирийский провинциальный математик с 1594 по 1600 г., императорский математик с 1601 г. до конца жизни и, кроме того, математик провинции Верхней Австрии с 1613 по 1628 г. в те времена понятие "математика" был значительно шире чем в наше время. Так в "Математическом словаре" французского академика Ж. Озанама, изданном в 1691 г., кроме традиционных арифметики, алгебры, геометрии, в круг математических предметов включены были также механика с гидростатикой, архитектура и фортификация, география и навигация, астрономия, оптика, а также музыка.
В работах Кеплера математического характера отчетливо прослеживается воздействие, которое оказывали на формирование новых математических идей и методов потребности точного естествознания, в особенности астрономии, механики. Математика во времена Кеплера становилась мощным инструментом изучения и открытия закономерностей и свойств окружающего мира.
Задачи из "Новой астрономии" были лишь первым его шагом в развитии математики переменных величин. Следующим шагом была книга "Nova stereometria doliorum vinariorum... accesit Stereometriae Archimedae Supplementum" ("Новая стереометрия винных бочек... с присоединением дополнения к Архимедовой стереометрии"). Книга эта заняла видное место в истории математики и, кстати, является единственным произведением Кеплера, полностью переведенным на русский язык. Книга вышла в Линце в 1615 г., но написана она была почти на два года раньше, и послужил этому весьма любопытный повод, известный по словам самого Кеплера. Осенью 1613 г. в Верхней Австрии был собран особенно обильный урожай винограда. Многочисленные суда и баржи, груженные вином, уходили вверх по Дунаю, а пристань в Линце все еще была забита бочками. Кеплер как решил запастись приятным напитком. Бочки с вином были доставлены к нему на двор, а затем появился купец и с помощью единственного инструмента - мерной линейки, стержня с делениями, быстро измерил количество вина в каждой из бочек без всяких вычислений и учета формы бочек. Он вставлял линейку в наливное отверстие бочки вплоть до упора в нижний край днища, после чего объявлял количество амфор (сосудов, принятых за меру емкости) в ней. Кеплер был очень удивлен этим: каким образом наклонный отрезок между двумя определенными точками может служить мерой вместимости бочки. Он даже усомнился в правильности такого метода измерения, так как представлялось, что очень низкая, ограниченная широкими днищами, бочка могла иметь такое же расстояние до нижней точки днища, как и более высокая бочка с менее широкими днищами. Обоснованно ли такое определение вместимости? Тем более Кеплер вспомнил, что севернее, на Рейне, вместимость бочек определялась либо непосредственным подсчетом количества единиц меры емкости при переливании, либо производили многочисленные замеры размеров бочки, после чего в результате громоздких и утомительных вычислений объявляли ее емкость, хотя многим этот способ казался ненадежным.
Узнав, что употребление мерной линейки санкционируется здесь властями, Кеплер "счел для себя подходящим взять новый предмет математические занятий и исследовать геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в хозяйстве измерения, а также выяснить его основания, если таковые имеются". Уже к концу того же года после нескольких недель работы было готово сочинение о результатах этого исследования, и Кеплер отправил его для издания в Регенсбург, так как в это время в Линце еще не было ни одной типографии. Однако издатель, к которому Кеплер обратился, вскоре сообщил, что, по мнению книгопродавцев, предложенное Кеплером сочинение, к тому же написанное на латинском языке, пользоваться спросом не будет, и субсидировать издание отказался. Рукопись надолго застряла в Регенсбурге, и Кеплер вспомнил о ней только тогда, когда при его участии весной 1615 г. в Линце была создана типография. Не без затруднений (издатель, которому была направлена рукопись, к тому времени умер) удалось разыскать и вернуть рукопись в Линц. Кеплер подвергает ее существенной переработке, а также дописывает новую, очень важную главу "Дополнения к Архимеду". Уже осенью 1615 г. "Новая стереометрия винных бочек" - первая книга, напечатанная в Линце, поступила в продажу на ярмарке в крупнейшем тогдашнем центре книготорговли - Франкфурте.
Ее издание было предпринято Кеплером за свой счет. Пытаясь хотя бы частично покрыть понесенные расходы, он обращается к своим друзьям с просьбой рекомендовать его книгу заинтересованным лицам и учебным заведениям. О спросе на математическую литературу в то время свидетельствует письмо к Кеплеру Гданьского математика Крюгера, в котором он пишет, что во всей округе видит лишь трех потенциальных покупателей: своего кёнигсбергского коллегу, кёнигсбергскую библиотеку и некоего дворянина по фамилии Невешинский.
Местные власти отнеслись к проделанной Кеплером работе весьма холодно, недвусмысленно дав ему понять, что было бы лучше "эту работу оставить, а довести до конца более важные вещи, такие, как порученные ему "Рудольфинские таблицы" и географическую карту". Однако Кеплер не внял этому весьма категорическому совету и взялся за переделку своей книги, ставя на этот раз целью сделать ее доступной для широких кругов людей, нуждающихся в разработанных им приемах в своей практической деятельности, но не знающих латыни и не разбирающихся в тонкостях математики. С этой целью Кеплер упрощает изложение, меняет последовательность расположения материала, прилагает сведения о системах мер, древних и употреблявшихся в то время, а также таблицы их перевода из одной в другую, но главное - он переводит свое сочинение на немецкий язык. Последнее обстоятельство было очень важным, поскольку научных книг на немецком языке тогда издавалось мало, а математическая терминология почти не была разработана. Поэтому значение появившейся уже весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте книги под названием: "Ausszug auss der uralten Messekunst Archimedis", т. е. "Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда...", состоит не только в привлечении внимания к возможностям математических методов широких слоев населения, но и в выполненной здесь большой работе по созданию немецкой математической терминологии. Этим самым, а также изданием нескольких трактатов астрономического содержания на родном языке (и подготовкой нескольких рукописей, оставшихся неизданными) Кеплер внес существенный вклад в развитие языка немецкой естественнонаучной литературы.
Книга "Новая стереометрия" состояла из трех частей. В предисловии Кеплер пишет: "Поскольку... винные бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром - фигурами правильными - тем самым они поддаются геометрическим измерениям, принципы которых стоит привести в начале настоящего исследования, как они установлены Архимедом, конечно лишь настолько, насколько этого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а полные и во всех частях строгие доказательства следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути их чтения. Впрочем, на некоторых мостах, которые не затронул Архимед, нужно остановиться поподробнее, чтобы и более ученые люди нашли чем воспользоваться и чему порадоваться". Таким образом Кеплер подчеркивает, что в силу практической направленности своего труда он не задерживается на положениях своего великого предшественника, отсылая более требовательных читателей к первоисточникам, но здесь же он говорит и о том, что выходит за пределы достигнутого Архимедом.

Рис. 6
Первая часть сочинения, озаглавленная "Стереометрия правильных кривых тел", в свою очередь состоит из двух частей, в первой из которых - "Архимедовой стереометрии" Кеплер приводит 16 теорем, известных еще Архимеду, но различие в подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению соответственных задач становится заметным с самого начала. Остановимся на примере с площадью круга. Произведение Архимеда "Измерение круга" начинается следующим предложением: "Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр - основанию треугольника". Это предложение Архимед доказывает косвенно (методом исчерпывания), показывая с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников, что площадь круга будет не больше и не меньше площади указанного треугольника.

Кеплер рассуждает так: "Архимед пользуется косвенным доказательством, приводящим к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется, что смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, именно, бесконечное число. Каждую из них рассмотрим как основание некоторого равнобедренного треугольника со стороной АВ, и таким образом в площади круга окажется бесконечное множество треугольников, соединенных вершинами в центре А. Пусть, далее, окружность круга вытянута в прямую, и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпендикулярна (см. Рис. 6). Тогда основания всех этих бесчисленных треугольников, или секторов, будут представляться расположенными друг за другом по прямой ВС; пусть одно из таких оснований будет BF, и какое-нибудь равное ему - DЕ. Соединим точки F, Е, D с А. Таких треугольников ABF, АDЕ над прямой ВС получится столько же, сколько секторов в площади круга, и их основания BF, DЕ и общая высота АВ будут такие же, как у секторов; следовательно, все эти треугольники ABF, АDЕ и т. д. будут равновелики (между собой) и каждый из них будет равновелик соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе эти треугольники, имеющие основания на линии ВС, т. е. треугольник ABC, всеми ими составленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е. составленной ими площади круга. Это самое и имеет в виду архимедово приведение к нелепости". Архимед действительно мог иметь это в виду. Но учитывая, что между элементарным круговым сектором и элементарным треугольником имеется то различие, что дуга в основании сектора и радиус круга будут при конечном n всегда больше соответственных линий элементарного треугольника, для точности вывода следует показать, что разность между площадями круга и треугольника при увеличении числа делений может стать действительно меньше любого данного сколь угодно малого числа (т. е. что эта разность представляет собой бесконечно малое). Архимед своими рассуждениями это показывает, Кеплер - нет. У Кеплера хорды окружности переходят в точки, каждая из которых продолжает рассматриваться как основание некоторого равнобедренного треугольника. Получается, что площадь круга рассматривается Кеплером как какая-то сумма всех радиусов, а треугольника - как совокупность точек всех прямых, выходящих из одной из его вершин.
Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется архимедовыми методами доказательств, а применяет суммирование бесконечно большого числа "актуализированных" бесконечно малых. Кеплер говорит, что шар "как бы" содержит бесконечно много конусов, вершины которых лежат в центре, а основания - на поверхности шара, и находит таким образом его объем. Вообще из его неоднократного "как бы" ("veluti") видно, что он не стремится дать точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В некоторых местах Кеплер отказывается от доказательств Архимеда, называя их чрезвычайно глубокими, но трудными для понимания, и вместо них приводит рассуждения, которые устанавливают "вероятность" того или другого предложения из соображений индуктивного или интерполяционного характера.
Так Кеплеру удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних. Ему, разумеется, не было известно содержание архимедового "Послания к Эратосфену", обнаруженного только в 1906 г. Из "Послания" становится ясно, что и Архимед пользовался инфинитезимальньми соображениями, довольно близкими к кеплеровым.
Кеплер, как его современник Кавальери и другие более поздние математики XVII в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение "Summa omnium" - "сумма всех" (сумма всех радиусов-векторов, сумма всех ординат), которое выполняло тогда роль нашего термина "интеграл". Кстати, как известно, знак интеграла (удлиненная буква S) был введен Лейбницем в конце XVII в. именно для сокращенной записи выражения "Summa omnium".
Во второй половине первой части своей работы - в "Дополнениях к Архимеду" - Кеплер показывает, что его способ оказывается очень удобным для решения многих новых задач. Так, в теореме 18, например, он легко устанавливает, что объем тора равен объему цилиндра, основанием которого служит меридиональное сечение тора, а высотой - длина окружности, описываемой центром образующего тор круга. Кеплер доказывает это так: меридиональными сечениями тор разбивается на бесконечно большое число кружочков, толщина которых у внешнего края тора больше, чем у внутреннего, но толщина кружочка в центральной части равна среднему арифметическому толщин у краев. Поэтому Кеплер принимает, что объем такого кружочка равен объему цилиндра, высота которого равна толщине центральной части кружка, а в основании лежит образующий тор круг. При этом тор и цилиндр, о которых говорится в условии теоремы, разбиваются на равное число равновеликих частей, этим и доказывается теорема. В следующем, более сложном примере определяется объем "яблока". Так называет Кеплер тело, образуемое сегментом, большим, чем полукруг, при его вращении вокруг хорды. Остроумным перераспределением деформированных без изменения объема долей "яблока", образованных по одному способу меридиональными сечениями данного тела вращения, проходящими через его ось, так называемую хорду сегмента, а по другому - тонкими концентрическими цилиндрическими слоями, имеющими осью хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело, представляющее собой "цилиндрическое копыто" - цилиндрический сегмент, основанием которого является образующий "яблоко" сегмент, а высота равна длине окружности экватора данного тела вращения.
Рассмотрев в теоремах 18-22 вопросы о нахождении объемов тора, "яблока" и "лимона" ("лимоном" названа тело, образуемое вращением сегмента, меньшего, чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее объемы и других тел, получаемых при вращении различным образом расположенных отрезков дуг конических сечений - эллипса, параболы и гиперболы. Всего сам Кеплер насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых он приписывает меткие названия: "айва", "слива", или "олива", "земляника", "груша" и т. д.
Вторая часть его книги, названная "Специальная стереометрия австрийской бочки", начинается рассуждением о геометрической форме бочек. Он указывает, что в первом приближении бочку можно рассматривать как цилиндр, или как два усеченных конуса, сложенных большими основаниями. Более точно форма бочек соответствует среднему слою либо лимона, образованного сегментом круга, либо сливы, образованной частью эллипса, либо параболического веретена, остающемуся после отсечения, равных частей с обеих сторон.
Далее Кеплер рассматривает зависимость между объемом бочек и длиной замеряемого отрезка и отношения большего диаметра (в среднем сечении) к меньшему. Но главный интерес для нас представляет то, что Кеплер занимается здесь исследованием формы конусов, цилиндров, а также бочек, обладающих наибольшей вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что приводит его уже к задачам другого важнейшего раздела исчисления бесконечно малых - дифференциального исчисления: к определению максимумов и изопериметрической задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак максимума в том, что, как он пишет, разница между самим максимумом и непосредственно предшествующими или последующими значениями незаметна.
В третьей части книги ("Употребление всей книги о бочках") Кеплер дает практические рекомендации по измерению объемов бочек, пытается найти способ для определения с помощью мерного стержня "отношения пустой части к остатку жидкости при лежащей бочке", но в общем виде решение этой задачи ему не удается. Хотя инфинитезимальные работы Кеплера фактически открыли новую эпоху, новый период в развитии математики, они не были сначала правильно оценены многими его современниками. Некоторые математики резко выступили против его "нестрогих" методов определения объемов, против его метода суммирования бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через год после появления "Стереометрии" издал специальное сочинение "В защиту Архимеда", где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого ученого. Они не понимали, что при всей нестрогости методов Кеплера, очевидной и для него самого, эти методы были весьма продуктивны и перспективны.
Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. Оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления.


კატეგორია: Кеплер | დაამატა: nukria (13.04.2012)
ნანახია: 630 | რეიტინგი: 0.0/0
სულ კომენტარები: 0
კომენტარის დამატება შეუძლიათ მხოლოდ დარეგისტრირებულ მომხმარებლებს
[ რეგისტრაცია | შესვლა ]
მოგესალმები Гость