Функция автокорреляции

Функция автокорреляции задаётся как

где z₁ и z₂ - значения высоты в точках (x₁, y₁), (x₂, y₂); при этом τ_x =  x₁ −  x₂ и τ_y =  y₁ −  y₂. Функция w(z₁, z₂, τ_x, τ_y) обозначает двумерную плотность вероятности случайной функции ξ(x, y), соответствующей точкам (x₁, y₁), (x₂, y₂) и расстоянию между этими точками τ.

Из дискретных данных АСМ можно извлечь эту функцию в виде

где m = τ_x/Δx, n = τ_y/Δy. Следовательно, эта функия может быть рассчитана для дискретного набора значений τ_x и τ_y, разделённых интервалами дискретизации Δx и Δy, соответственно. Двумерная функция автокореляции может быть посчитана с помощью меню Обработка данных → Статистика → Двумерная автокорреляция.

Для измерений АСМ мы обычно рассчитываем одномерную функцию автокорреляции основанную на профилях вдоль оси быстрого сканирования. Она может, следовательно, рассчитываться из дискретных данных АСМ как

Одномерная функция автокорреляции нередко считается имеющей форму гауссовой, т.е. заданной следующим соотношением:

где σ обозначает среднеквадратичное отклонение высот и T обозначает длину автокорреляции.

Для экспоненциальной функции автокорреляции у нас получается следующее соотношение

Функция автокорреляции, полученная для модели гауссово случайной шероховатой поверхности (т.е. с гауссовой функцией автокорреляции) с σ ≈ 20 nm и T ≈ 300 nm.

Мы можем также ввести радиально усреднённую функцию автокорреляции G_r(τ), которая, естественно, содержит ту же самую информацию, что и одномерная функция автокорреляции для изотропных шероховатых поверхностей: