Каталог статей

მთავარი » სტატიები » Математика » Геометрия
Все о Конусе
 
Все о Конусе

содержащей катет.  S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса


Отрезок SA=L образующая. Отрезок OA=R – радиус основания. Отрезок BC=2R – диаметр основания.

Треугольник SBC-осевое сечение Угол BSC – угол при вершине осевого сечения Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания
                        II Сечение

конуса                           



     

1. Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение – равнобедренный треугольник рис. 1)



     2. Секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса круг с центром О1 

(рис. 2)



    

3.Сечение проходящее через верщину конуса – равнобедренный треугольник  (рис. 3)



    

4.Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 )


В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса

    

и совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник,являющийся осевым сечением конуса.


Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +L

Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на


оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около


треугольника, являющегося осевым сечением конуса.


Rш = Rк / sinb ;  
R²ш= (H-Rш) ² + Rк²

Rш =L/2H ;      
(2Rш  - Hк)Hк = Rк²

                   
III Площадь поверхности конуса                     

1.



    



За плщадь боковой поверхности конуса принимается площадь её разертки. Выразим


S бок через его опразующую L и радиус основания r.  Площадь кругового сектора πL²/360*α . Выразим α 

через L и r . Длинна дуги ABA равна 2πr (длинна окружности основания конуса) 2πr = πL/180*


α,  откуда следует α=360r/L следовательно Sбок = πL²360r/360L=πrL Sбок = πrL
2.   Площадь

полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания Sпол=πrL(L+r)


                             IV Объем конуса                              


Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.


Рассмотрим конус с обьемом V,радиусом R, высотой h и вершиной О. Введем ось Ох,

чтобы она совпадала с осью конуса  -ОН .

Произвольное сечение  конуса плоскостью, перпендикулярной к оси


Ох, является круг с центром в точке Н1 пересечения этой плоскости с осью Ох.
Обозначим Радиус этого круга через , ф площадь S(x) через,где х-абсцисса точки Н1.  Из подобия

треугольников ОН1А1 и ОНА следует,что ОН1/ОН=R1/R,или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как  S(x)= πR², то S(x)= πR²/h²* ²

    

Применяя основную формулу вычисления обьемов тел при а=0 и b=h  получаем


                         V Усеченный
конус.                           

Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и паралельным

основанию сечением  конуса.

Круги с центрами О1 и О2 – верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R r радиусы оснований, АВ= L образующая ,α угол наклона образующе иплоскости нижнего основания.

Отрезок О1О2-высота. Трапеция АВСD – осевое сечение.


    

Н=L*sin α

H²+(R-r) ²=L²

Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой О1О2

CF=FD OF┴Cd=>



    

О – центр описанного шара 
R -радиус описанного шара, равный радиусу окружносит описанной около ΔACD

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая равна



сумме радиусов оснований L=R+r => существует вписанный шар.              

VI Площадь поверхности усеченного конуса                

1.      Пусть Р
– вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1одна из образующих

Усеченного конуса О и О1 – центры оснований. Используя формулу Sбок для
конуса получаем
S бок =   πr*PA-πr1*PA1=πr(PA1+AA1)- πr1PA1, отсюда, учитывая, что AA1=L, находим
Sбок =πrL +π (r - r1)PA1
Выразим РА1 через L1, r и  r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА
подобны, так как имеют общий острый угол Р и поэтому PA1/PA=r/r1 или
PA1/PA1+L=r/R1. Получаем  PA1=Lr1/R-r1. 
S=πrL + (π(r-r1)Lr1)/r-
r1=πrL+πr1L=πL(r+r1)
Sбок =πL(r+r1)
2.      Площадь

полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и оснований


    

  Sполн = S1+S2+Sбок=πL(r+r1)+ πR²+πr²

                       VII Обьем усеченного конуса                       


Обьем усеченного конуса V, высота которого равна h, а площади оснований S иS1 вычисляется по формуле

V=1/3h(S+S1+√S*S1)



    



 



 



 
კატეგორია: Геометрия | დაამატა: nukria (24.04.2012)
ნანახია: 565 | რეიტინგი: 0.0/0
სულ კომენტარები: 0
კომენტარის დამატება შეუძლიათ მხოლოდ დარეგისტრირებულ მომხმარებლებს
[ რეგისტრაცია | შესვლა ]
მოგესალმები Гость