აბაშის ხმა

Каталог статей

მთავარი » სტატიები » Математика » Геометрия в пространстве

Прямые, плоскости, параллельность.

Прямые, плоскости, параллельность.

Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну

прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:

· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

B¹

A¹

C¹

D¹

На
рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются.

В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.

Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.

Рис. 4

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей:
две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют

общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том
случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы

теоремы о транзитивности:

· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и

плоскости:

· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости
соответственно параллельны двум

пересекающимся прямым в другой
плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности
прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна

плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а

противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по
признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани

соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой

пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают

параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти
прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D.

Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по

треугольникам.