Вс, 23.07.2017, 07:44
Главная
Регистрация
Вход
აბაშის ხმა
Приветствую Вас Гость | RSS
Меню сайта
Категории раздела
Алгебра
Алгебра Дж. Буля
Алгоритмы
Анализ
Векторы
Вейвлеты
Геометрия
Графики
Дзета-функция Римана
Задача Лагранжа
Интегралы
Математика
Математическая интуиция
Математические игры
Методы Рунге Кутты
Нестандартный анализ
Теория Графов
Уравнения
Численные методы оптимизации
Геометрия в пространстве
Мини-чат
200
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Главная » Статьи » Математика » Геометрия в пространстве

Прямые, плоскости, параллельность.
Прямые, плоскости, параллельность. 

Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве: 

· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну 

прямую параллельно данной. 

Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности: 

· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу. 

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны
 пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких  прямых говорят, что они скрещиваются.

 

  














D




А


На
рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются.
 В дальнейшем мы часто будем  прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии.
 Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD со­держащих их квадратов.


С




В




Рис. 4


В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей:
две пло­скости или прямая и плоскость 
параллельны, если они не имеют 
общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том
случае, 
когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы 
теоремы о транзитивности:

· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой. 

· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу. 

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и 

плоскости: 

· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости. 

А вот признак параллельности плоскостей: 

· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости
соответственно параллельны двум 

пересекающимся прямым в другой
плоскости, то и плоскости параллельны.
 

Часто используется и такая простая теорема: 

· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу. 

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности
прямой и плоскости следует, например, что 
прямая А¹В¹ параллельна 

плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а

противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по
признаку параллельности 
плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани 

соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой 

пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают 

 параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти
прямые параллельны: 
аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D.

Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DCпересекающие куб по 

треугольникам.

Категория: Геометрия в пространстве | Добавил: nukria (30.04.2012)
Просмотров: 91 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Друзья сайта
  • Официальный блог
  • Сообщество uCoz
  • FAQ по системе
  • Инструкции для uCoz

  • | Copyright MyCorp © 2017 | |