Латинские квадраты.
Не
смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты
наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.
Латинским
квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце
встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких
квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить
на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары
латинских квадратов называются ортогональными.
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
4 |
3 |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
Задачу
отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в
такой занимательной формулировке: " Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов,
гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов,
полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род
войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров
в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались
офицеры всех рангов?”
Эйлер
не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого
решения
не сушествует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары
латинских
квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных
значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для
остальных
значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2,
ортогональных квадратов
не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6 6
не
существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы
Эйлера.
Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты
10х10,
потом 14х14, 18х18, 22х22. А затем было показано, что для любого n ,
кроме 6, существуют ортогональные квадраты nхn.
Магические
и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два
ортогональных
квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим
образом.
Поставим туда число n(a – 1)+b, где а - число в такой клетке первого
квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно
понять,
что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не
обязательно
на диагоналях) будут одинаковы.
Теория
латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так
и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта
пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени
разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем
квадратный участок земли на 16 делянок (рис.4). Первый сорт пшеницы посадим на
делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на
четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт
обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех
делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и
уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение
интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают:
первая
– количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а
вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Нетрудно понять, что при
этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и
других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго
видов, густоты и удобрений второго вида.
11 |
22 |
33 |
44 |
23 |
14 |
41 |
32 |
34 |
43 |
23 |
32 |
42 |
31 |
24 |
13 |
Использование
ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в
экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.
|