Разбор и рассмотрение методов, применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, мы начнем с их широкой категории, известной под общим названием методов Рунге-Кутта.

 Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти у_m+1, нужна информация о предыдущей точке xm,ym.

2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода.

3. Они не требуют вычисления производных от f (x,y), а требуют вычисления самой функции.

Рассмотрим сначала геометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрических аналогий. После этого мы подтвердим полученные результаты аналитически.

 Предположим, нам известна точка xm,ym на искомой кривой. Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угла наклона у¢_m=f(x_m,y_m), которая пройдет через точку x_m,y_m. Это построение показано на рис.1, где кривая представляет собой точное, но конечно неизвестное решение уравнения, а прямая линия L1 построена так, как это только что описано.

Тогда следующей точкой решения можно считать ту, где прямая L₁ пересечет ординату, проведенную через точку x=x_m+1=x_m+h.

Уравнение прямой L₁ выглядит так: y=y_m+y¢_m(x-x_m) так как y¢=f(x_m,y_m) и кроме того, x_m+1=x_m+h тогда уравнение примет вид

y_m+1=y_m+h*f(x_m,y_m)    1.1

 Ошибка при x=x_m+1 показана в виде отрезка е. Очевидно, найденное таким образом приближенное значение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h, так что ошибка ограничения равна e_t=Кh2

 Заметим, что хотя точка на графике 1 была показана на кривой, в действительности y_m является приближенным значением и не лежит точно на кривой.

Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера. В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: x_m,y_m и x_m+h,y_m+hy¢_m. Последняя точка есть та самая, которая в методе Эйлера обозначалась x_m+1,y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1,y_m+1 можно проследить по рис.2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+h,y_m+hy¢_m, лежащая на прямой L₁. В этой точке снова вычисляется тангенс, дает прямую L. Наконец, через точку x_m,y_m мы проводим прямую L, параллельную L. Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой, восстановленной из x=x_m+1=x_m+h, и будет искомой точкой x_m+1,y_m+1.

Тангенс угла наклона прямой L и прямой L равен

Ф(x_m,y_m,h)=½[f(x_m,y_m)+f(x_m+h,y_m+y¢_mh)]    1.2

где y¢_m=f(x_m,y_m)   1.3

 Уравнение линии L при этом записывается в виде

  y=y_m+(x-x_m)Ф(x_m,y_m,h),

 так что

   y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h).  1.4

 Соотношения 1.2, 1.3, 1.4 описывают исправленный метод Эйлера.

 f(x,y)=f(x_m,y_m)+(x-x_m)¶f/¶x+(y-y_m)¶f/¶x+¼   1.5

где частные производные вычисляются при x=x_m и y=y_m.

 Подставляя в формулу 1.5 x=x_m+h и y=y_m+hy¢_m и используя выражение 1.3 для y¢_m, получаем

  f(x_m+h,y_m+hy¢_m)=f+hf_x+hff_y+O(h2),

где снова функция f и ее производные вычисляются в точке x_m,y_m. Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем

  Ф(x_m,y_m,h)=f+h/2(f_x+ff_y)+O(h2).

Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора

  y_m+1=y_m+hf+h2/2(f_x+ff_y)+O(h3).

 Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка.

Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2. На рисунке эта точка образована через Р, а ее ордината равна y=y_m+(h/2)y¢_m. Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке

  Ф(x_m,y_m,h)=f+(x_m+h/2,y_m+h/2*y¢_m),      1.6

 где  y¢_m=f(x_m,y_m)     1.7

 Прямая с таким наклоном, проходящая через Р, обозначена через L*. Вслед за тем, мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*, и обозначаем ее через L₀. Пересечение этой прямой с ординатой x=x_m+h и даст искомую точку x_m+1,y_m+1. Уравнение прямой можно записать в виде y=y_m+(x-x_m)Ф(x_m,y_m,h),

где Ф задается формулой 1.6. Поэтому

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h)      1.8

Соотношения 1.6, 1.7, 1.8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка. Обобщим оба метода. Заметим, что оба метода описываются формулами вида

 y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h)    1.9

и в обоих случаях Ф имеет вид

Ф(x_m,y_m,h)=a₁f(x_m,y_m)+a₂f(x_m+b₁h,y_m+b₂hy¢_m),     1.10

где y¢_m=f(x_m,y_m)    1.11

 В частности, для исправленного метода Эйлера

  a₁=a₂=1/2;

  b₁=b₂=1.

  a₁=0, a₂=1,

  b₁=b₂=1/2.

Формулы 1.9, 1.10, 1.11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты. Посмотрим, какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a₁, a₂, b₁ и b₂ .

 Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h, в общем случае достаточно одного параметра. Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2, потребуется еще два параметра, так как необходимо учитывать члены h2f_x и h2ff_y. Так как у нас имеется всего четыре параметра, три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2, то самое лучшее, на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка.

В разложении f(x,y) в ряд 1.5 в окрестности точки x_m,y_m положим x=x_m+b₁h,

   y=y_m+b₂hf.

Тогда f(x_m+b₁h,y_m+b₂hf)=f+b₁hf_x+b₂hff_y+O(h2), где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке x_m,y_m.

Тогда 1.9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).

Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде

y_m+1=y_m+h[a₁f+a₂f+h(a₂b₁f_x+a₂b₂ff_y)]+O(h3).

Если потребовать совпадения членов hf, то a₁+a₂=1.

Сравнивая члены, содержащие h2f_x, получаем a₂b₁=1/2.

Сравнивая члены, содержащие h2ff_y, получаем a₂b₂=1/2.

Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.

Положим, например, a₂=w¹0. тогда a₁=1-w, b₁=b₂=1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к

 y_m+1=y_m+h[(1-w)f(x_m,y_m)+wf(x_m+h/2w,y_m+h/2wf(x_m,y_m))]+O(h3)   1.12

Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна

e_t=kh3   1.13

Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений

 y_m+1=y_m+h/6(R₁+2R₂+2R₃+R₄)     1.14

где R₁=f(x_m,y_m),    1.15

 R₂=f(x_m+h/2,y_m+hR₁/2),    1.16

 R₃=f(x_m+h/2,y_m+hR₂/2),     1.17

 R₄=f(x_m+h/2,y_m+hR₃/2).     1.18

Ошибка ограничения для этого метода равна e_t=kh5

так что формулы 1.14-1.18 описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.