Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

                                                                   ,                                                                   (24)

где  и  - некоторые положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

            В простейшем случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение

            Множество решений показательного уравнения вида

                                                                 ,                                                                 (25)

где  - некоторый многочлен, находится следующим образом.

            Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).

            П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Записывая уравнение в виде

и вводя новую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :

.

Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень  и два иррациональных корня:  и .

Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:

, , .

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:

 и .