Магический, или волшебный квадрат— это квадратная таблица n x n, заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.
Магические квадраты существуют для всех порядков n ≥ 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой , M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
Содержание
Программа для вычисления является ли массив магическим квадратом
Код программы написан на языке программирования Pascal
program magiai;
const n=3;
var a:array [1..n,1..n] of integer;
i,j,s,s1,s2:integer;
b:boolean;
{
n - размерность массива
a - массив
i,j - индексы массива
s - сумма первой строки
s1 - сумма по горизонтали
s2 - сумма по вертикали
s3 - сумма первой диагонали
s4 - сумма второй диагонали
}
begin
writeln('Программа по нахождению магической матрицы');
for i:=1 to n do {ввод массива}
for j:=1 to n do
begin
writeln('Введите [',i,',',j,'] элемент');
read(a[i,j]);
end;
s3:=0;
s4:=0;
for i:=1 to n do {вывод массива}
begin
for j:=1 to n do
begin
write(a[i,j],' ');
if i = j {подсчёт суммы первой диагонали}
then s3:=s3+a[i,j];
if i = n+1-j {подсчёт суммы второй диагонали}
then s4:=s4+a[i,j];
end;
writeln;
end;
s:= 0; {обмуление суммы}
b:= true; {начальное значения булевой переменной}
for i:=1 to n do {суммирование первой строки}
s:=s+a[1,i];
for i:=1 to n do {проход по массиву с подсчётом сумм}
begin
s1:=0;
s2:=0;
for j:=1 to n do
begin
s1:=s1+a[i,j];
s2:=s1+a[j,i];
end;
if (s<>s1) or (s<>s2) {если сумма по вертикали или по горизонтали не равны начальному значению, то выводим сообщение об этом}
then
begin
b:= false;
exit;
end;
end;
if (s<>s3) or (s<>s4) {проверка равенства диагоналей}
then b:=false;
if b {если матрица является магической, то выводит сообщение об этом}
then writeln('Матрица является магическим квадратом');
else writeln('Матрица не является магическим квадратом');
end.
Исторически значимые магические квадраты
Квадраты с дополнительными свойствами
Дьявольский магический квадрат
Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.
Такие квадраты называются ещё пандиагональными.
Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:
Однако было доказано, что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n >3, для любого порядка двойной чётности n = 4k (k = 1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n = 4k+2 (k = 1,2,3…).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный
Пример идеального магического квадрата:
Примеры более сложных квадратов
Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности . Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:
Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов
Шахматный подход
Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек
