Построение возможных направлений спуска

Пусть задана допустимая точка х. Как показано в лемме , ненулевой вектор и является возможным направлением спуска. Естественный подход к построению такого направления заключается в минимизации Ñf(х)^Td. Заметим, однако, что если существует вектор d, такой, что Ñf(х)^Td <0, А₁d£0, Еd= 0, то оптимальное значение целевой функции в сформу­лированной задаче равно — ¥ , так как ограничениям этой за­дачи удовлетворяет любой вектор ld, где l—сколь угодно большое число. Таким образом, в задачу должно быть включено условие, которое ограничивало бы вектор и или оптимальное значение целевой функции. Такое ограничение обычно называют нормирующим. Ниже приведены три задачи построения

Задачи Р1 и РЗ являются задачами линейного программиро­вания и, следовательно, могут быть решены симплекс-методом. Задача Р2 содержит квадратичное ограничение, но может быть рассмотрена в несколько упрощенном виде. Так как d = 0 является допустимой точкой в каждой из приведен­ных выше задач и так как значение целевой функции в этой точке равно нулю, то ее оптимальное значение в задачах Р1, Р2 и РЗ не может быть положительным. Если минимальное значе­ние целевой функции в задачах Р1, Р2 или РЗ отрицательно, то по лемме построено возможное направление спуска. С другой стороны, если минимальное значение целевой функции равно нулю, то, как показано ниже, х является точкой Куна — Таккера.

ЛЕММА. Рассмотрим задачу минимизации f(х) при условиях Ах£b и Ех=е. Пусть х — допустимая точка, для которой А₁x=b и А₂x<b₂, где А^T=(А₁^T, А₂^T), а b^T=(b₁^T, b₂^T). Тогда х является точкой Куна—Таккера в том и только в том случае, если оптимальное значение целевой функции в задачах Р1, Р2 или РЗ равно нулю.