Нестандартный анализ
Нестандартный
анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон, специалист по теории
моделей, понял, каким образом методы математической логики позволяют оправдать классиков
математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их
рассуждения, использующие "бесконечно большие” и бесконечно малые величины.
Таким образом, речь идет не о каких-то новых "нестандартных” методах, не
имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств
внутри стандартной (теоретико-множественной) математики.
Нестандартный
анализ остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением
было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался
полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно
сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет
доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным
образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.
Однако,
быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык
нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических
моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать
важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас
многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный
анализ в своей работе.
Нестандартный
анализ позволяет с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения
классиков математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к
успеху, и путем относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими
современным критериям строгости.
|