В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна

√1²+1²= √2 Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера √2 можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число √2    – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа  √2 не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число  √2 иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=√2 . Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим  m²=2n² . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому  m²=4k² и, следовательно, 4k²=2n² , или 2k²= n². Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного √2   не существует.