Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что√2  не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной √2.

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение a √α с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число α>0 и нажать клавишу √ – на экране высветится 8 цифр значения√ α . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если α – положительное число и x1 – приближенное значение для √α  по избытку, то α/x1  – приближенное значение для √α  по недостатку.

Доказательство.

По условию x1> √α    и потому  х12 >α,α/x²1 <1. Но(α/x1) 2 = α²/x1 = α/x²1α . Т.к. α/x1²<1, то a α/x²1<α. Значит, (α/x1²)<α и a/x1- приближенное значение для √α  по недостатку.

Аналогично доказывается, что если x1 – приближенное значение для √α по недостатку, то α/x1  – приближенное значение √α по избытку.

Поскольку x1 и α/x1 являются приближенными значениями для √α по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для √a естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число x2=1/2(x1+α/x1) . А чтобы получить еще более точное значение для  √α, надо взять среднее арифметическое чисел x2  и α/x2, т.е. число x3 = 1/2(x2+a/x2)    . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для √α . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения xn и xn-1 не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 = 1/2(x1+α/x1)  приближение

В нашем случае α=2. Поэтому

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2. Найдем приближенное значение для √5 с точностью до 0,0001.

Выберем за первое приближение для √5 число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

Далее имеем

Значит, с точностью до 0,0001 имеем √5 =2,2361.

Ответ: √5=2,2361