Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа,
применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не
слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть
разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на
абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не
имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной.
Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие
интеграла, введенное Лебегом.
 Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в
отличие от интеграла Римана, точки х  группируются не по признаку их
близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках.
Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий
класс функций.
 Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для
функций, заданных на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл
Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с
соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных.
Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще
не имеет смысла.
 Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная
(-аддитивная мера (, определенная на (-алгебре множеств с единицей  X. Все
рассматриваемые множества А ( Х будут предполагаться измеримыми, а функции
f(x) - определенными для x( Х и измеримыми.
 1.1. Простые функции.
 Определение 1. Функция f(x), определенная на некотором пространстве Х с
заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не
более, чем счетное число значений.
 Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.
 Теорема 1. Функция f(x), принимающая не более чем счетное число различных
значений
 y1, y2, … , yn, … ,
измерима в том и только том случае, если все множества
  An={x : ((x)=yn}
 измеримы.
 Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое An есть
прообраз одноточечного множества {yn}, а всякое одноточечное множество
является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы
прообраз f-1(B) любого борелевского множества есть объединение [pic]не
более чем счетного числа измеримых множеств An, т. е. измерим.
 Использование простых функций в построении интеграла Лебега будет
основано на следующей теореме.
 Теорема 2. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы
она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся
последовательности простых измеримых функций.
 Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную
измеримую функцию f(x) и положим fn(х)=m/п, если т/п[pic]f(x)((m+1)/n
(здесь т - целые, а п  - целые положительные). Ясно, что функции fn(x)
простые; при п([pic] они равномерно сходятся к  f(x), так как (f(x)-
fn(x)((1/n.
 
1.2.Интеграл Лебега для простых функций.
 Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше
простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное
число значений.
 Пусть f—некоторая простая функция, принимающая значения
 y1, y2, … , yn, … ; yi[pic]yj при i[pic]j,
и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.
 Естественно определить интеграл от функции f по множеству А равенством
 [pic]=[pic], где  An={x: x[pic]A, f(x)=yn},
 (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к
следующему определению (в котором по понятным причинам заранее
постулируется абсолютная сходимость ряда).
 Определение 2. Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой
(по мере () на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f
интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.
 В этом определении предполагается, что все уn различны. Можно, однако,
представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений
вида ck((Bk) и не предполагая, что все ck различны. Это позволяет сделать
следующая лемма.
 Лемма. Пусть  А=[pic], Bi[pic]Bj=( при i[pic]j и пусть на каждом
множестве Bk функция f принимает только одно значение ck; тогда
[pic]=[pic],
 (2) причем функция f интегрируема на А в
том и только том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится.
 Доказательство. Легко видеть, что каждое множество
Аn={х: х(А, f(x)=yn}
 является объединением тех Bk, для которых сk=yn. Поэтому
[pic]=[pic][pic]=[pic].
Так как мера неотрицательна, то
[pic]=[pic]=[pic],
т. е. ряды [pic] и [pic] абсолютно сходятся или расходятся одновременно.
Лемма доказана.
 Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций
A) [pic]=[pic]+[pic],
причем из существования интегралов в правой части равенства следует
существование интеграла в левой.
 Для доказательства предположим, что f принимает значения fi на множествах
Fi ( A, a g — значения gj на множествах Gj ( A, так что
J1=[pic]=[pic],
 (3)
J2=[pic]=[pic].
 (4)
Тогда в силу леммы
J=[pic]=[pic];
 (5)
так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная
сходимость ряда (5); при этом
J=J1+J2.
Б) Для любого постоянного k
[pic]=k[pic],

причем из существования интеграла в правой части следует существование
интеграла в левой части. (Проверяется непосредственно.)
В) Ограниченная на множестве А простая функция f интегрируема на А, причем,
если (f(x)(( M на A, то
([pic](( M((A).
(Проверяется непосредственно.)

2. Определение интеграла Лебега
 Классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом,
состоит, как известно, в следующем: рассматривается конечная функция f(x),
заданная на сегменте [a, b]; этот сегмент разбивается на части точками
x0 = a ( x1 ( x2 ( ( ( xn = b
в каждой части [xk, xk+1] выбирается точка (k и составляется риманова
сумма
( = [pic].
Если сумма ( при стремлении к нулю числа
( = max(xk+1 – xk).
стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a,
b], ни от выбора точек (k, то этот предел I  называется интегралом Римана
функции f(x) и обозначается символом
[pic].
 Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле,
пишут
(R)[pic].
 Функции, для которых интеграл Римана существует, называются
интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для
интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.
 Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегрируема (R).
Существуют также и разрывные функции, интегрируемые (R). В частности,
такова любая разрывная монотонная функция.
 Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет
интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Дирихле [pic], которая
определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

 1, если x рационально,
((x) =
  0, если x иррационально.

 Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма ( обращается
в 0, если все точки ([pic] иррациональны и ( = 1, если все [pic]
рациональны.
 Таким образом, риманово определение интеграла страдает существенными
недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.
 Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.
 Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана (, мы дробим
сегмент [a, b] на мелкие части [x0, x1], [x1, x2], ( ,[xn-1, xn] (назовем
их через e0, e1, ( , en-1), в каждой части ek берем точку (k  и, составив
сумму
( = [pic],
требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек (k в
множествах еk. Иначе говоря, каждая точка  х из множества еk может быть
взята за (k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение
суммы (. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки (k мало
изменяет величину f((k). Но что же объединяет между собой различные точки х
множества ek? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо  еk есть
малый сегмент [xk, xk+1].
 Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за
собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что
изменение точки (k в пределах множества ek мало влияет на величину суммы (,
но для функция разрывной это вовсе не так.
 Иначе можно сказать, что множества ek составлены так, что только для
непрерывных функций значение f((k) можно считать нормальным представителем
других значений функции на ek.
 Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне
оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно
выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R)
необходимо, чтобы рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».
 Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег
предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в
множества ek не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по
признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой
целью Лебег разбивает на части не сегмент [a, b], расположенный на оси
абсцисс, а сегмент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения
функции f(x)