Бесконечно малые величины

Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины (т. е. не как функции, стремящиеся к нулю, как учат современные учебники), а как величины постоянные. Такой подход хорошо согласуется как с интуицией естествоиспытателя, так и с реальной историей зарождения математического анализа. Что касается интуиции, то достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объемы и т.п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю. Было бы неправильно считать подобного рода интуицию присущей лишь авторам учебников физики. Вряд ли какой-то математик воспринимает (наглядно) элемент дуги ds иначе, чем "очень маленькую дугу”. Любой математик, составляя соответствующее дифференциальное уравнение, скажет, что за бесконечно малое время dt точка прошла бесконечно малый путь dx, а количество радиоактивного вещества изменилось на бесконечно малую величину dN.

Что же касается истории математического анализа, то в наиболее явной форме излагаемый подход проявился у одного из основоположников этой науки — Лейбница. В мае 1984 г. исполнилось 300 лет с того дня, как символы dx и dy впервые появились на страницах математических публикаций, а именно в знаменитом мемуаре Лейбница "Новый метод...”. Именно Лейбниц яснее других ощущал бесконечно малые величины постоянными (хотя и воображаемыми, идеальными) величинами особого рода, и именно Лейбниц сформулировал правила оперирования с бесконечно малыми в виде исчисления.

Какие положительные числа следует называть бесконечно малыми?

Первый ответ таков: положительное число e называется бесконечно малым, если оно меньше всех положительных чисел. Однако бесконечно малых в этом смысле положительных чисел не бывает: ведь если число меньше всех положительных чисел и само положительно, оно должно быть меньше самого себя. Попытаемся исправить положение, потребовав, чтобы e было меньше всех других положительных чисел, но больше нуля, т. е. чтобы e было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое e должно изобразиться самой левой точкой множества (0, +¥). К сожалению, числа e с указанными свойствами тоже нет и не может быть: если e положительно, то число e/2 будет положительным числом, меньшим e. (Согласно обычным свойствам неравенств для всякого а > 0 выполняются неравенства 0 < а/2 < а). Так что если мы не хотим отказываться от привычных нам свойств действительных чисел (например, от возможности разделить любое число на 2 или от возможности умножить любое неравенство на положительное число), но хотим иметь бесконечно малые числа, то приведенное определение бесконечной малости не годится.

Более изощренное определение бесконечной малости числа e > 0, которое мы будем использовать в дальнейшем, таково. Будем складывать число e с самим собой, получая числа e, e + e, e + e+ e, e + e + e +e и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число e и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если e бесконечно мало, то сколько раз ни откладывай отрезок длины e вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдешь. Наше требование к бесконечно малому e можно переписать и в такой форме (поделив на e): 1<1/e, 1+1<1/e, 1+1+1<1/e,…

Таким образом, если число число e бесконечно мало, то число 1/e бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т. д. Так что если мы начнем измерять отрезок длиной 1/e с помощью эталона длины (т.е. откладывая последовательно отрезки единичной длины), то процесса измерения никогда не закончим.

Из вышеизложенного следует, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).

Приведенная формулировка касается отрезков; если считать (как это обычно делается), что длины отрезков являются числами, мы приходим к такой формулировке аксиомы Архимеда: для любых двух чисел а и b, для которых 0 < а < b, одно из неравенств а + а > b, a + а + a > b, ... обязательно выполнено. В дальнейшем, говоря об аксиоме Архимеда, мы будем иметь в виду именно эту формулировку. Из нее видно, что в множестве действительных чисел (где эта аксиома выполняется) бесконечно малых нет: чтобы убедиться в этом, достаточно положить a=e, b=1. Мы увидим в дальнейшем, что на самом деле аксиома Архимеда равносильна утверждению об отсутствии бесконечно малых элементов, не равных нулю.

Вывод – если мы хотим рассматривать бесконечно малые, нужно расширить множество R действительных чисел до некоторого большего множества *R. Элементы этого нового множества будем называть гипердействительными числами. В нем аксиома Архимеда не выполняется и существуют бесконечно малые (в смысле последнего определения) числа — такие, что сколько их ни складывай с собой, сумма будет все время оставаться меньше 1. Подобно тому как обычный (или стандартный) математический анализ занимается изучением множества действительных чисел R, нестандартный анализ изучает множество гипердействи-тельных чисел *R. Полученные при этом результаты используются для исследования свойств R. (Таким образом могут быть получены "нестандартные” доказательства свойств обыкновенных действительных чисел.)

Порядок на R архимедов, а на *R неархимедов: это значит, что в R аксиома Архимеда выполняется, а в *R не выполняется. По этой причине стандартный (обычный) анализ, изучающий R, называется еще архимедовым, а нестандартный анализ, изучающий *R, называют неархимедовым.

Для построения нестандартного анализа необходимо расширить множество действительных чисел до более широкого множества гипердействительных чисел.

Но прежде поговорим о самих действительных числах и их происхождении.

До сих пор мы предполагали известным понятие действительного числа. Понятие действительного числа имеет долгую историю, начавшуюся еще в древней Греции (о чем напоминает название "аксиома Архимеда”) и закончившуюся лишь в XIX веке. Самой первоначальной и основной числовой системой является, конечно, система натуральных чисел. Натуральных чисел, однако, оказывается мало: пытаясь решить уравнение 3 + х = 2 в натуральных числах, мы обнаруживаем, что оно не имеет решений и наше желание определить операцию вычитания оказывается неудовлетворенным. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел до множества целых чисел. В этой процедуре для нас сейчас важно следующее: каким образом мы определим сложение и умножение на целых числах? То, что 2 + 2 == 4, можно увидеть, сложив две кучи по два яблока в одну. Но почему мы считаем, что (-2)+(-2)=(-4)? Почему мы считаем, что (-1)(-1)=1?

Эти вопросы не так тривиальны, как может показаться. Найти правильный ответ будет легче, если сформулировать вопрос иначе: что плохого произойдет, если мы будем считать, например, что (-1)(-1)=(-1)? Ответ прост: в этом случае хорошо известные свойства сложения и умножения натуральных чисел (коммутативность, ассоциативность и др.) не будут выполняться для целых чисел. Можно показать, что обычное определение операций над отрицательными числами единственно возможное, если мы хотим сохранить привычные свойства операций сложения и умножения.

Тут следует остановиться: какие же именно свойства сложения и умножения мы хотим сохранить? Ведь если бы мы хотели сохранить все свойства, то введение отрицательных чисел было бы не только излишне, но и вредно: свойство "уравнение х+3=2 не имеет решений”, верное для натуральных чисел, становится неверным для целых! Если же мы ничего не хотим сохранить, то задача становится столь же легкой, сколь и пустой: можно определить операции с отрицательными числами как угодно.

Возвращаясь к истории развития понятия числа, мы видим, что введение отрицательных чисел не доставляет полного удовлетворения: уравнение 2x=3 по-прежнему не имеет решения. Это побуждает ввести рациональные (дробные) числа. Но и этого недостаточно: от рациональных чисел приходится перейти к действительным. В результате получается последовательность множеств NÌZÌQÌR (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел; АÌ В означает, что всякий элемент множества А принадлежит множеству B. В этой последовательности каждое следующее множество включает в себя предыдущее, при этом имевшиеся в предыдущем операции продолжаются на следующее, более широкое, множество, сохраняя свои полезные свойства.

Мы хотим продолжить эту последовательность еще на одни член, получив последовательность NÌZÌQÌRÌ*R, где *R – множество гипердействительных чисел. Новый шаг расширения будет иметь много общего с предыдущими: мы продолжим на *R имеющиеся в R операции, сохранив их полезные свойства. Но будут и 2 важных отличия.

Во-первых, если расширение (переход от R к *R) можно выполнить многими различными способами: можно построить существенно различные множества *R, ни одно из которых ничем не выделяется среди остальных. В то жо время, все предыдущие шаги нашего расширения числовой системы от N к R были в некотором смысле однозначны.

Во-вторых, есть различие в наших целях. Если прежде (двигаясь от N к R) мы строили новую числовую систему прежде всего для того, чтобы исследовать ее свойства и ее применения, то построенная система *R предназначается не столько для того, чтобы исследовать ее свойства, сколько для того, чтобы с ее помощью исследовать свойства R. Впрочем различие и не так велико: и раньше расширение числовой системы было одним из способов получения новых знаний о старых объектах. Кроме того, множество *R можно рассматривать, быть может, как соответствующее физической реальности в не меньшей (и даже в большей) степени, чем R.

Итак, необходимо расширить множество R действительных чисел до большего множества *R, содержащего бесконечно малые, сохранив при этом все полезные свойства R. Центральный вопрос состоит в том, какие именно свойства действительных чисел мы желаем сохранить. Ответим на этот вопрос не сразу, начав с наиболее простых свойств действительных чисел.

Прежде всего, мы хотим, чтобы гипердействительные числа можно было складывать, умножать, вычитать и делить, чтобы эти операции обладали обычными свойствами, называемыми «аксиомами поля». Сформулируем их.

Среди гипердействительных чисел должны быть выделены числа 0 и 1; определены операции сложения, умножения взятия противоположного, а также операция взятия обратного. При этом должны выполняться такие свойства:

(1) a+b=b+a  (2) a+(b+c)=(a+b)+c (3) a+0=a (4) a+(-a)=0  (5) ab=ba

(6) a(bc)=(ab)c (7) a*1=a (8) a(b+c)=ab+ac  (9) a*(1/a)=1 при a<>0.

Множество с операциями, обладающими этими свойствами, называется полем. Требования (1)-(9) можно сформулировать так: *R должно быть полем.

Кромеарифметических операций, зададим на гипердействительных числах порядок. Для любых двух различных гипердействительных чисел должно быть определено какое из них больше. При этои должны выполняться такие свойства:

(10)  если a>b, b>c, то a>c

(11)  если a>b, то a+c>b+c для любого с

(12)  если a>b, c>0, то ac>bc

если a>b, c<0, то ac<bc

Поле, в котором введен порядок с такими свойствами, называется упорядоченным полем. Требования (10)-(12) можно сформулировать так: *R должно быть упорядоченным полем.

Мы хотим, чтобы среди гипердействиетльных чисел были все действительные. При этом операции и порядок на R и на *R должны быть соглсованы. Это требование можно сформулировать так: упорядоченное поле *R должно быть расширением упорядоченного поля R.

Что же нового мы ожидаем от *R? Бесконечно малых.

Определение. Элемент e>=0 упорядоченного поля называется бесконечно малым, если 

e<1, e+e<1. e+e+e<1 и т.д. Отрицательное e называется бесконечно малым, если –e бесконечно мало.

Существование ненулевых бесконечно малх равносильно нарушению аксиомы Архимеда для гипердействительных чисел. Упорядоченные поля, в которых справедлива аксиома Архимеда и нет бесконечно малых, называют архимедово упорядоченными. Те поля, в которых аксиома Архимеда невернаи есть бесконечно малые, называют неархимедово упорядоченными (неархимедовым).

В этих терминах треюования можно сформулировать так: система гипердействительных чисел должна быть неархимедово упорядоченным полем, являющимся расширением упорядоченного поля действительных чисел.