Построение системы гипердействительных чисел

Рассмотрим вопрос о существовании гипердействительных чисел. Точнее этот вопрос следует сформулировать так: можно ли построить расширение множества действительных чисел, для которого выполнялась бы Основная гипотеза. Основная гипотеза требует, чтобы:

(1) имелось некоторое множество R, для которого RÌ*R;

(2) для каждой функции f: Rn®R имелась некоторая функция *f: *Rn®*R являющаяся продолжением исходной;

(3) любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог который имеет (гипердействительные) решения, имела действительные решения;

(4) *R содержало бесконечно малые элементы, отличные от нуля.

Покажем, каким образом этим требованиям можно удовлетворить. Рассмотрим один из возможных вариантов перехода от Q (множества рациональных чисел) к R (множеству действительных чисел). Рассматриваются всевозможные фундаментальные последовательности рациональных чисел, т. е. такие последовательности, что для любого e > 0 существует отрезок длины e, содержащий все члены последовательности, кроме конечного числа. Две такие последовательности xn и yn называют эквивалентными, если xn–yn стремится к 0 при п®¥. Это отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности на классы, которые и называются действительными числами.

Мы достигнем цели, если от последовательностей перейдем к классам последовательностей, считая, что две последовательности x0,x1,x2,…. и y0,y1,y2,… задают одно и то же гипердействительное число, если xn=yn "для большинства натуральных чисел n”.

Для наглядности будем представлять себе, что проводится голосование по вопросу "считать ли последовательности xn и yn совпадающими”. В нем голосующими являются натуральные числа, причем число п голосует "за”, если

xn =yn , и "против”, если xn¹yn . Будем считать последовательности xnи yn совпадающими, если большинство натуральных чисел голосуют за это. Нужно объяснить лишь, какова система подсчета голосов, т. е. какие множества натуральных чисел мы считаем "большими” (содержащими "большинство” натуральных чисел), а какие "малыми” (содержащими "меньшинство” натуральных чисел). Перечислим те свойства, которым должна удовлетворять система подсчета голосов, т. с. деление множеств натуральных чисел на большие и малые.

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно. (Голосование должно всегда давать ответ.)

2. Множество всех натуральных чисел большое, пустое множество малое. (Предложение, за которое голосуют все, принимается.)

3. Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества – малым. (Из двух противоположных законопроектов получает большинство голосов ровно одни.)

4. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого множества – большим. (Утратив часть голосов, отвергнутый законопроект не может стать принятым.)

5. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение двух больших множеств является большим. (Если каждая из двух групп голосующих не образует большинства, то они и вместе не образуют большинства ("невозможность коалиции”); если каждая из групп составляет большинство, то голосующие, входящие одновременно в обе группы, уже составляют большинство.)

Эти требования весьма сильны. Чтобы понять это, рассмотрим случай конечного множества голосующих (получающийся заменой N на некоторое конечное множество М). Можно ли тогда удовлетворить этим требованиям? Один способ почти очевиден. Выберем одного из "голосующих” тÎ М и назовем большими все множества, содержащие m, а малыми – все множества, не содержащие т ("диктатура” m). При таком определении легко проверить все свойства 1–5. Оказывается, что этим исчерпываются все возможности удовлетворить требованиям 1–5 для случая конечного множества M. В самом деле, , пусть имеется разбиение всех множеств на большие и малые, удовлетворяющее требованиям 1–5. Рассмотрим тогда все большие множества и выберем из них множество M0, содержащее наименьшее возможное число элементов (среди больших множеств). Множество M0 непусто. Если оно содержит ровно один элемент m, то в силу свойства 4 все множества, содержащие т, будут большими, а в силу свойства 3 все множества, не содержащие m, будут малыми. Осталось показать, что M0 не может содержать более одного элемента. В самом деле, в этом случае его можно было бы разбить на две непустые непересекающиеся части M1 и M2. Эти части должны быть малыми (так как содержат меньше элементов, чем M0), а их объединение M0 является большим, что противоречит требованию 5.

Оказывается, однако, что при счетном числе голосующих возможны системы голосования, удовлетворяющие требованиям 1–5 и не сводящиеся к упомянутому тривиальному случаю. Другими словами, можно так разбить все подмножества натурального ряда на большие и малые, чтобы выполнялись свойства 1–5 и любое одноэлементное множество было малым. Тогда (в силу свойства 5) и любое конечное множество будет малым, а (в силу свойства 3) всякое множество с конечным дополнением (до N) – большим. Таким образом, к требованиям 1–5 можно без противоречия добавить и такое:

6. Всякое конечное множество является малым, всякое множество с конечным дополнением — большим. (При голосовании мнение конечного числа голосующих несущественно.)

Разбиение всех подмножеств натурального ряда на большие и малые, удовлетворяющее требованиям 1–6, называется нетривиальным ультрафильтром на множестве натуральных чисел.

Покажем теперь, что такое разбиение позволяет построить систему гипердействительных чисел, удовлетворяющую требованиям Основной гипотезы. Итак, пусть фиксировано разбиение, удовлетворяющее требованиям 1–6. Назовем две последовательности xn и yn эквивалентными, если множество тех n, при которых xn =yn является большим. В силу требования 2 всякая последовательность эквивалентна самой себе.

Мы видим, что введенное отношение рефлексивно, симметрично (это очевидно из определения) и транзитивно и, следовательно, разбивает все последовательности действительных чисел на классы эквивалентности, т. е. такие классы, что любые две последовательности одного класса эквивалентны, а любые две последовательности из разных классов – нет. Эти классы мы и назовем гипердействительными числами. Что еще нам нужно? Нужно, чтобы множество действительных чисел было подмножеством множества гипердействительных. Нужно уметь для каждой функции с действительными аргументами и значениями строить ее гипердействительный аналог. Нужно проверить, что любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог которой имеет гипердействительные решения, имеет действительные решения. И, наконец, нужно убедиться, что среди гипердействительных чисел (рассматриваемых как упорядоченное поле) существуют бесконечно малые, отличные от нуля.

Чтобы сделать R подмножеством *R, отождествим каждое действительное число х с последовательностью х, х, х, ..., точнее, с содержащим ее классом. При этом разным действительным числам соответствуют разные классы: х,x,х … не эквивалентно у,у,y ... (множество тех n, при которых n-е члены совпадают, пусто и, следовательно, является малым).

Пусть f: R®R – функция с действительными аргументами и значениями. Определим ее гипердействительный аналог *f: *R® *R. Пусть x – произвольное гипердействительное число, т.е. класс эквивалентных последовательностей действительных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность x0, x1, x2,… из этого класса и применим f ко всем ее членам. Класс, содержащий полученную последоваетльность f(x0), f(x1), f(x2), … и будем считать значением f на х. Полученный класс не зависит от выбора последовательности x0, x1, x2,… в классе x (определение корректно).

Аналогично определяются и гипердействительные аналоги для функций нескольких аргументов. Пусть, например, f – функция двух действительных аргументов с действительными значениями.  Определим ее гипердействительный аналог *f. Чтобы применить *f к двум гипердействительным числам х и y, возьмем последовательности x0, x1, x2,… и y0, y1, y2,… , им принадлежащие, и в качестве *f(х, у) рассмотрим класс последовательности f(x0,y0), f(x1,y1), f(x2,y2),… Определение корректно.

Нужно проверить, что построенное гипердействительные аналоги будут продолжениями исходных функций с действительными аргументами и значениями. Это очевидно следует из определений. Проверим теперь, что всякая система уравнений и неравенств, имеющая гипердействительные решения, имеет и действительные решения. Пусть, например, система

f(g(x,y),z)=z, h(x)¹h(y)

имеет гипердействительные решения x, y, z. Рассмотрим последовательности x0,x1,x2,…; y0,y1,y2,…; z0,z1,z2,…, принадлежащие соответствующим классам эквивалентности. Тогда g(x0,y0), g(x1,y1),… принадлежит классу g(x,y), а f(g(x0,y0),z0), f(g(x1,y1),z1),… – классу f(g(x,y),z). Поскольку x,y,z по предположению являются решениями системы, то f(g(xn,yn),zn)=zn для большинства п. Поскольку h(x)¹h(y), последовательности h(x0),h(x1),… и h(y0),h(y1),… не эквивалентны и множество тех п, при котором h(xn)=h(yn) малое. Тогда множество тех п, при котором h(xn)¹h(yn) является большим. Так как пересечение двух больших множеств является большим, то множество тех n, при котором

f(g(xn,yn),zn)=zn , h(xn)¹h(yn)

является большим. Значит, оно непусто. Таким образом, система имеет и действительные решения.

Осталось проверить, что среди гипердействительных чисел существуют бесконечно малые, отличные от нуля. Положительным бесконечно малым гипердействительным числом будет, например, класс последовательности 1, 1/2, 1/3, .,. (или любой другой последовательности положительных действительных чисел, сходящейся к 0). Нам нужно проверить, что это гипердействительное число (обозначим его через e) положительно, но меньше любого стандартного положительного числа. Чтобы доказать это, мы должны вспомнить, как определяется порядок на множестве гипердействительных чисел. Он определяется в соответствии с общей схемой построения гипердействительного аналога для любого отношения на множестве действительных чисел. Нужно взять функцию f двух действительных аргументов, для которой свойства f(x,y)=0 и х<у равносильны, и рассмотреть ее гипердействительный аналог *f. Гипердействительное число х называется меньшим гипердействительного числа у, если *f(x,y)=0. Посмотрим, что дает нам эта конструкция для построенной описанным способом системы гипердействительных чисел. Если х – класс последовательности x0,x1,x2,…, а y – класс последовательности y0,y1,y2,…, то *f(x,y) есть класс последовательности f(x0,y0), f(x1,y1), f(x2,y2), … Равенство этого класса нулю (т. е. классу последовательности 0, 0, 0, ...) означает, что f(xn,yn)=0 для большинства n, т. е. что xn<yn для большинства п. Таким образом, чтобы выяснить, верно ли х<у для гипердействительных чисел х и y, нужно взять последовательности x0,x1,x2,…, и y0,y1,y2,… в классах х и у и выяснить, является ли множество тех п, при которых xn<yn большим.

Нам нужно было проверить, что 0<e и что e<р для любого стандартного положительного р (e —класс последовательности 1, 1/2, 1/3, ...). Это просто:

0<e, так как 0<1/п при всех п (а множество N большое), e<р, так как 1/n<р для всех натуральных n, кроме конечного числа, а всякое множество с конечным дополнением малое (свойство 6 "системы подсчета голосов”). Отметим, что здесь мы впервые воспользовались свойством 6, до сих пор все наши рассуждения были справедливы и в случае "диктатуры” (когда большими считаются те и только те множества, которые содержат некоторое натуральное число N). В этом случае две последовательности эквивалентны, если совпадают их N-е члены, и все гипердействительные числа стандартны (класс последовательности x0,x1,x2,… совпадает со стандартным числом xN).