Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
• Если функцияf  возрастает, то функции cf ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• Если функция f  возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
• Если функция f  f возрастает и неотрицательна, то  ƒⁿ  где n Є N  , также возрастает.
• Если функция f  возрастает и n – нечетное число, то ^ƒⁿ также возрастает.
• Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Модель 1.9. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≥  f  ( x ).

Точка a называется точкой минимума функцииf , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≤  f  ( x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого x ЄD

  (x≠ a) выполняется неравенство f  ( x ) ≤  f  ( a ) ( αЄD) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :  

Если для любого x ЄD ( x  ≠  b ) выполняется неравенство f  ( x ) >  f  ( b )( bЄD)

    то точка  b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .