Кубические уравнения

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

ax³+bx²+cx+d = 0 .где a ≠ 0

оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

ax³+bx²+cx+d = 0 .где a≠ 0

разделить на a , то коэффициент при x³ станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

                                                    x³+px²+ Qx + R = 0 .                                                     (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь a  на x и перегруппируем слагаемые:

                                         (x+b)³ =x³ +3bx² +3xb²+b³.    

                                       (12)

Мы видим, что надлежащим выбором b , а именно взяв b=p/3 , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при x  и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

(x+b)³+(Q - 3b²)x+R-b³ = 0

Если здесь сделать замену y=x+b , получим кубическое уравнение относительно y  без члена с  y²:

y³+py+q = 0.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

x³ +px+q = 0