Метод неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что b≥q , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: b = 3,q =-1 ,  и b = 1q =-3. Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: . Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов.

            Если уравнение имеет вид P(Q(x)) = 0 , где P  и Q  - многочлены, то замена y =Q(x) сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: P(y) = 0  иQ(x) = y