Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

            Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

x⁴+px³ +qx²+ix+s = 0

можно избавиться от члена px³ подстановкой x = y-p/4 . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

. x⁴ax²+bx+c = 0

  Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде A² =  B² , где левая часть – квадрат выражения A = x² + s, а правая часть – квадрат линейного уравнения B от X, коэффициенты которого зависят от  S . После этого останется решить два квадратных уравнения: A= Bи A =-B  и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра s. Удобно взять s в виде a/2+p, тогда уравнение перепишется так:

                              .                              (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от x. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

  b² = 2t(4t² + a² -4c)

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно t оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень t₀. При t = t₀ правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

            Решим для примера уравнение

.x⁴-10x²+8x+5=0

            Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

x⁴-10x²+8x-5 

и добавим к обеим частям выражение 2sx²+s², чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.(x²+s)² = (10+2s)·x²+8x+s²-5

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения: 16-(10-2s)·(s²-5) =0

или, после упрощения,

.s³+5s²-5s-33=0

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители  свободного члена: s₀ = -3. После подстановки этого значения получим уравнение

 (x²-3)² = 4x²+8x+4 = 4·(x+1)²,

откуда x²-3 = ±2·(x+1). Корни образовавшихся квадратных уравнений -  и   . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.