Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней
квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI
в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой
степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше
четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой
используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение,
деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более
того, все уравнения данной степени n  (n ≤4 )можно
"обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов
уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

            После этого естественно возник вопрос: а
есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и
выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в
начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но
недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини
звучит
так:

Общее уравнение степени n при n ≥ 5 неразрешимо в радикалах.        

Таким образом, общей формулы,
применимой ко всем уравнениям данной степени n ≥ 5,
не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или
иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для
широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых
уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого
конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с
помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое
алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+a₁x + a₀ = 0,a_n ≠ 0

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах
через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не
всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений,
построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его
"Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.;
опубликован в 1846 г.).

            Подчеркнем, что в прикладных задачах нас
интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его
разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные
методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной
точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.