Задача 1.

    Даны два вектора AB и CD,  причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).

    Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

     Решение.   Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).

   Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

    Последнее и означает, что АВ   _  СD.   

 Задача 2.

    Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

    Решение.

    Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

ВС = а, СА = в, АВ = с

(рис.8). Тогда

АD = АВ + ВD = АВ += с + 

аналогично определяются и другие медианы:

ВЕ = а + , СF = в +

   Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с =0,

то мы имеем:

 АD + ВЕ + СF = ( с + ) + (а + ) + ( в + ) = ( а + в + с) =  х 0 = 0.

     Следовательно, отложив от точки В, вектор В₁С₁ = ВЕ и  от точки С₁ – вектор С₁D₁ = СF, мы получим.

 А₁В₁ + В₁С₁ + С₁D₁ = АD + ВЕ + СF = 0.

    А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.

    Таким образом, мы получаем треугольник А₁В₁С₁ (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.