Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с² = а² + в² – 2ав х соs С (теорема косинусов)

   Решение.

    Положим: а = СВ, в = СА,

 с = АВ (рис.10).

    Тогда с = а – в, и мы имеем

 (учитывая, что угол между векторами а и в            равен С):

с² = ( а – в )² = а² – 2ав  + в² = а² – 2ав х соs С + в².

    Задача 4.

    Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение.

    Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства

АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ.

    Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

АВ² + 2 АВ х АD + АD² = АС², АВ² – 2АВ х АD + АD² = DВ²

    Сложим эти равенства почленно. Получим:

2АВ² + 2 АD² = АС² + DВ².

    Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

     Задача 5.

    Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны.

    Решение.

Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y –1. Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки D:            х = -2, y = 0.

Задача 6.

    Даны два вектора АВ и СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2),        D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

  Решение.

    Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3).

   Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

  AB х CD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

    Последнее озночает, что АВ         СD.