Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения

Пусть торговое предприятие в течении периода времени Т должно завести и

реализовать n видов товара. Соответственно обозначим:

Ri - полный спрос i – го товара за время Т;

C1i – стоимость хранения одной единицы i-го товара планируемом периоде времени;

CSi - расходы по завозу одной партии i – го товара;

Vi - объем складского помещения занимаемый одной единицей i –го товара.

V - вся ёмкость складского помещения.

Все эти значения считаются заранее известными. Неизвестный пока размер одной

поставки i-го товара обозначим через qi, а через qio будем в дальнейшем

обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара.

 

Тогда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го товара

будут равны:

 

а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид:

Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид товара,

åVi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара и

должно выполняться очевидные соотношения,

  

Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа:

Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и (30).

Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид:

 

Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в (31)

 

или

Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные функции

(31) по всем qi и прировняем их к нулю:

 

Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение

 

где в правой части все значения параметров известны за исключением множителя

l. Для определения значения подставим выражения qi в условие (32). Получаем:

 

В соотношении (36) все величины, кроме l, заранее известны, т.е. оно является

иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно разрешить

относительно множителя l. Найдя значения l = l0, можно определить оптимальные

величины поставок каждого из товаров по формулам:

Теперь можно рассматривать конкретный пример.

Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех видов (n

= 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед. Весь объем

складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения одной

единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10 руб.

Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго – 1600

руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара занимает

3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти оптимальные

размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем:

 

Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя l;

 

или

 

 

Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):

Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных

поставок. Должно выполняться:

Имеем:

 3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000. 

Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы

оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем

примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе

товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением

времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь

идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена.

Здесь можем заметить одну небольшую "уловку” в этом примере исходные данные в

примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36) имеет во

всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает

решение уравнения. Эта "уловка” использована для облегчения рассмотрения

примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является

возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает

вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике

исходные данные будут таковы, что нашей "уловкой” воспользоваться будет

невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной математике

разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и потому значения

множителя l можно определить из уравнения (36) приближенно с любой степенью

точности. К тому же несмотря на нашу "уловку” облегчающую нахождения значения

l, тем не менее мы определили его приближение. С учетом выше сказанного,

можем прийти к выводу, что использованная "уловка” не сужается общностью

рассмотрения модели.